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おもしろ科学実験室(工学のふしぎな世界)

連成振り子の運動 ~振動エネルギーのキャッチボール~

2019年3月22日
横浜国立大学 理工学部

 この実験室では連成振り子が振動エネルギーをキャッチボールする現象を紹介します。連成振り子とは複数の振り子が互いに影響を及ぼし合う振動系です。図1のように水平に張ったワイヤー(ピアノ線)に長さの等しい振り子を2つ吊るします。一方の振り子を振ると、もう一方の振り子が振動しはじめます。最初の振り子は減衰していき、ついには止まります。このときもう一方の振り子が最大振幅に達します。すると今度は逆にはじめの振り子に振動が返っていきます。この2つの振り子が振動エネルギーをやり取りする現象を物理では"うなり"と呼びます。うなりは振動数が少しだけ異なる2つの音叉(おんさ)を同時に鳴らすときに起こる現象としてよく知られています。同じ音叉を用意して、一方の音叉の先端に輪ゴムをつけたりして振動数を少しずらします。長さの等しい振り子は同じ振動数で振れます。2つの振り子の場合、何が異なる振動数を生むのか、それは後ほど。

図1 連成振り子

 さて、大学の授業で扱うのは2本の振動までですが、ここではそれを3本、4本、7本まで増やして実験します。まず2本から始めて、振動を予想しながら順に本数を増やしていきましょう。その前に振り子の周期について復習しておきます。1つの鉛直面内で振動する振り子を"単振り子"といいますが、その周期 T は、

です。ここで、L は振り子の長さ、g は重力加速度(9.8m/s2)です。周期はおもりの重さに依らないことに注意して下さい。長さの等しい振り子は同じ周期(振動数)を持ちます。この振り子を2本ワイヤーに吊るします。ワイヤーとおもりはひもで結ぶのではなく、カーボン製の1mmの丸棒でつなぎます。50cmで0.6gと軽いため、おもり(27g)に比べればその質量は無視できます。支点はワイヤーに固く固定する必要があります。実験ではカーボン丸棒の先端に圧着端子をつけ、ワイヤーにはんだ付けしています。固く固定することで、振り子が振れるとワイヤーがねじれます。そのねじれで隣の振り子に力が加わり、隣の振り子も振動を始めます。隣の振り子によるねじれによって最初の振り子も力を受けるようになり、互に影響し合うのです。これを"相互作用"といいます。

 これから実際の振り子の振動を動画で見ていただきますが、各自で動画を再現したり、動画以外のいろいろな条件を試せるように、シミュレーションを用意しました。1~9つの振り子まで、各種条件を変えた振動の様子を調べることができます。付録1にダウンロードの仕方とシミュレーションの操作方法を説明しましたので後で見て下さい。

単振り子<動画1a、1b>

 まず単独の振り子で周期を確かめてみましょう。動画1aは長さ45cmの振り子です。周期T は式(1)のL に0.45(m)を、g に9.8(m/s2)を代入して、 T=1.3 秒となります。動画1bは25cmの振り子です。支点からおもりまでの距離が振り子の長さになります。カーボン丸棒は変えずに、おもりを支点から25cmの位置に移動しました。周期は 1.0 秒です。あとあと周期では計算しにくいので、逆数を取って振動数 f=1⁄T (Hz) で表しておきます。動画1aは0.74Hz、動画1bは1.0Hzです。周期は振り子の長さのルートに比例しますから、長さを半分にしても周期は1/4しか変わりません。

2連成振り子<動画2a、2b、2c、2d>

 では2連成振り子です。振り子の間隔は4cmにしました。振り子の長さは共に45cmです。動画2aからです。2本の振り子が静止した状態から、左の振り子の角度を変えて、そっと離します。動画では横から振動の様子を撮影しています。まず手前(左)の振り子が振動を始めます。すると奥(右)の振り子も徐々に振れていきます。その分、手前の振り子の振幅は小さくなっていきます。振動のエネルギーが保存するからです。しばらくすると、手前の振り子が一瞬止まり、そのとき奥の振り子は最大振幅に達します。振動エネルギーが奥の振り子に全部移った瞬間です。その後は逆の過程をたどって、振動エネルギーが手前の振り子に戻ってきます。2つの振り子の間で振動エネルギーがキャッチボールされるのです。振り子の一定周期の振動を固有振動といいますが、2つの振り子が相互作用するとこれとは少し異なる周期の固有振動が現れます。これら2つの固有振動の"重ね合わせ"の結果、うなりが生じます。長さの等しい振り子は同じ固有振動数を持っていますが、それらが相互作用することによって少し異なる振動数が生まれるのです。そこが音叉の場合と違うところです。絵で描くと図2にようになります。最初に青の振り子が振れます。次第に赤の振り子が振れ、青は減衰していきます。ついには青が止まり、赤が最大振幅になります。続いて、赤の振動が青に戻って行きます。こうして振動のエネルギーが2つの振り子の間でキャットボールされるのです。図2の破線(包絡線)の半周期がうなりの周期になります。これがエネルギーをキャッチボールする時間間隔です。2つの固有振動数をf1、f2とすると、うなりの振動数は |f2-f1|となります。

図2 うなり図2 うなり

 動画2aの場合、音叉とは異なり、2つの固有振動が重なった結果しか見えていませんが、最初の条件(初期条件)を変えると、2つの固有振動がそれぞれ単独で現れることもあります。それが同相モードと逆相モードです。2つの振り子に同じ角度を与えて静かに離すときが同相モード(動画2b)、逆方向に正負の角度を与えて離すときが逆相モード(動画2c)です。これらの動画からそれぞれの振動数を測ってみると、同相モードと逆相モードの周期はそれぞれ1.34秒、1.26秒となります。振動数に直すと、0.747Hzと0.793Hzです。前者が単独の45cm振り子の振動数です。後者が相互作用で生まれた振動数です。うなりの振動数はこれらの差ですから、0.046Hz、逆数をとって22秒がうなりの周期ということになります。動画2aで確かめてみて下さい。

 それでは長さの異なる振り子ならどうなるでしょうか。45cmと25cmの振り子で試してみましょう。動画2dを見て下さい。エネルギーのキャッチボールがうまくできません。それは"共鳴"が起こらないからです。たこ糸とナットの振り子(付録2)を手に持って支点を左右に振ってみて下さい。振り子に外部から力(外力)を与えるのです。この外力を振り子の周期に等しい周期で与えると、小さく振っても振動が次第に大きくなります。これが共鳴(または共振)という現象です。地震で高層ビルが大きく揺れることがありますが、地震の周期がビルの固有振動の周期に近い場合に起こります。連成振り子の場合、手前の振り子が振れると、ワイヤーがねじれて奥の振り子に少しだけ外力が加わります。同じ長さの振り子同士では、ワイヤーによる外力の周期は奥の振り子の固有振動の周期に一致しますから、共鳴が起こります。逆に奥の振り子の振動によって手前の振り子にも同じ周期の外力が生じます。ワイヤーのねじれを介して固有振動の周期に等しい周期の外力が互いの振り子に働くことによって共鳴するのです。このときエネルギーのキャッチボールが起こります。しかし、長さの異なる振り子の場合、45cmの振り子の周期は1.3秒、25cmの振り子の周期は1.0秒です。25cmの振り子は1.3秒周期の外力には共鳴せず、振幅が十分大きくなることはありません。

3連成振り子<動画3a、3b>

 さてここからが本題です。3つの振り子ならどんな振動が現れるでしょうか?2連成振動の結果から予想してみて下さい。振り子の取り付け間隔は(3連成以上は)2.5cmになっています。振り子の長さはどれも45cmです。

まずは動画3aです。ここからは振り子を番号で呼ぶことにしましょう。手前から奥へ順に1番(左)、2番(中央)、3番(右)とします。1番の振り子を振ります。1番の振動がなかなか3番まで伝わりません。2番の振り子が邪魔をして、途中で振動が戻ってきてしまいます。何度か中途半端な受け渡しがあって、85秒ぐらいで3番に振動エネルギーがほぼ移ったように見えます。1番に戻って来るにはさらに長い時間がかかり、実験では減衰があるため、それを確かめることはできませんでした。

 そこでシミュレーションの登場です。付録1の操作方法にしたがってシミュレーションしてみて下さい。シミュレーションは現象を理想的な状態で見ることができますが、逆に実際に起こる現象を再現することは難しいのです。現実には空気抵抗や摩擦があり、ワイヤーがねじれれば発熱して振動のエネルギーは熱になって逃げていきます。おもりをつければワイヤーはたわみ、振り子の軌道は円からずれます。これらの現実をすべて取り入れてシミュレーションするのは大変です。振動エネルギーをキャッチボールする時間間隔を再現するには、ワイヤーのねじれによる相互作用の効果を正確に見積もらなければなりません。振り子の相互作用の強さはピアノ線の"剛性率(ずれ弾性率)"という量に比例します。シミュレーションでは78.5GPa (1Pa=1N/m2、Gは109倍) の値を使っています。しかしこの値では3連成振り子のキャッチボールの時間間隔は再現できませんでした。振動を再現するには剛性率はもっと小さい値になってしまいます。実験の波形に近くなるのは3連成では55GPa、2連成では45GPaになりました。動画撮影のため、振れ角を10°ぐらいにしました。実は引張による変形を加えると、10°のねじれはピアノ線の弾性限界に近いのです。この限界を越えると、剛性率が半分ぐらいまで落ちてしまいます。剛性率が大きくずれた理由はこのあたりにあるのではないかと考えています。現実を再現するのは難しいものです。シミュレーションではこの剛性率も変えられるようにしましたので、上の数値でぜひ試してみて下さい。さらに厳密なことをいうと、3連成の場合は3つの固有振動があり、振動エネルギーが始めの状態に戻る時間はそれぞれの周期T1、T2、T3の最小公倍数になります。実数の最小公倍数ですから、完全に元に戻ることは不可能です。剛性率を55GPaとして、その近似値を求めてみると、動画3aの条件では約170秒になります。動画3aで観測されたのは、その半分の85秒あたりで1番の振動が3番に移った状態です。

 次は動画3bです。今度は中央の2番を振ります。振動エネルギーが両側に移って、短時間でもとの2番に戻って来ます。その周期は8.6秒。シミュレーションでこの周期を実現するには、さらに剛性率を下げて43GPaになりました。

 では1番と3番を同じ角度α にして、2番をこれらとは反対向きにその2倍の角度-2αで振り始めるとどうなるでしょうか。これを {α,-2α,α} と表記しておきます。手が3本ないと同時に離せないので、動画はありません。これはシミュレーションで試して下さい。最初に与えた振れ角のまま振幅は変化せず、振動エネルギーのキャッチボールが全く起こりません。これは2連成振り子の同相・逆相モードに対する第3のモードです。ちなみに、2連成振り子の同相・逆相モードに対応するモードは {α,α,α},{α,0,-α} です。3連成振り子ではこれら3つの振動モードの重ね合わせによって複雑な振動が形成されるのです。

4連成振り子<動画4a、4b>

 少し趣向を変えて、長さの異なる振り子を交互に4本並べてみました。手前(左)から25、45、25、45cmの振り子です。1番の25cm振り子を振った場合を動画4aに、4番の45cm振り子を振った場合を動画4bに示します。動画2dの実験でも示しましたが、振り子の長さが異なると振動は伝わりにくくなります。これまでの動画から推測すると、1番の25cm振り子を振れば、2番を通り越して、3番の25cm振り子が振れやすいはずです。逆に4番の45cm振り子を振れば2番の45cm振り子が振れるはずです。動画4aと4bを比較して下さい。後者の方が振動がよく伝わっています。4番と2番で振動エネルギーをキャッチボールしている様子がよく分かります。それに比べて前者は1番から3番に振動があまり伝わりません。ここでは共鳴以外の要因が働いているからです。1番の25cm振り子を振った場合、間にある2番の45cm振り子はその周期に追いついて行けません。2番の振り子が振れなければ、ワイヤーのねじれは3番の振り子に伝わりません。逆に、4番の45cm振り子を振ったときは、3番の25cm振り子はその動きに追従できて、動画4aの場合よりもワイヤーのねじれを2番の振り子に伝えることができます。設定が込み入ってくると、実験の再現性が悪くなります。こういうときは理想的なシミュレーションに頼らざるを得ません。シミュレーションではその違いがよく分かります。

 長さの等しい4連成振り子に話を戻しましょう。4つの振動モードが独立に現れる初期の振れ角は、
{ α,α,α,α },{ α,-α,-α,α },{ α,-(1-√2)α,(1-√2)α,-α },{α,-(1+√2)α,(1+√2)α,-α }
です。α=0.1 として、√2 の近似値を入れてシミュレーションしてみて下さい。

7連成振り子<動画7a、7b>

 5連成と6連成は飛ばして、7連成振り子を見てみましょう。動画の番号も7番にしました。動画7aでは、6本の45cm振り子の中央4番だけ25cm振り子をつけました。この4番の振り子を振ります。どうなるでしょうか? 動画4a、4bの実験から推理してみて下さい。4番の振動だけ速いので、両側の45cm振り子が追従できません。その結果、4番の振動は閉じ込められてしまうのです。これを"局在振動"といいます。この現象は不純物を含む結晶格子で知られています。振り子の代わりに、図3のように、ばねと粒子を交互に直線上につなげると、振り子と同じように粒子の振動はばねを介して相互作用します。さらに上下・左右にもつなげてジャングルジムのよう組んで、粒子を原子に見立てれば、3次元の固体のモデルになります。ある固体中にそれとは異なる軽い不純物原子が混入していると、その不純物原子の振動が逃げ場を失って局在するのです。

図3 1次元格子モデル図3 1次元格子モデル

 最後に動画7bです。45cm振り子を7本並べて、1番を振りました。振動が徐々に奥に伝わっていき、また奥から振動が返ってくる様子が見られます。途中の振り子もときどき止まります。みんなでダンスしているようです。

まとめ

 振り子の相互作用は振動モード、うなり、共鳴、局在振動といった様々な振動現象を見せてくれます。さらに固有振動や重ね合わせの原理は物理学の基本概念です。これらを理解する格好の題材が連成振り子なのです。振動エネルギーがキャッチボールされる様子、さらにどんな場合にキャッチボールされなくなるのか、お分かりいただけたでしょうか。

付録1

 この実験で使用した連成振り子のシミュレーションができるようにプログラムを作成しました。実行ファイル(rensei.exe)と設定ファイル(set.txt)を圧縮したzipファイルを横浜国立大学理工学部数物電子情報系学科物理工学EPの次のホームページからダウンロードして使って下さい。解凍のパスワードは「furiko」です。

 変えられる数値は、連成振り子の本数(1~9本)と振り子の長さ(cm単位、デフォルトは45cm)と初期に与える角度(ラジアン単位、目安は0.1rad≒6°)、計算時間(秒)、剛性率(GPa単位、デフォルトは78.5GPa)、振り子の取り付け間隔(cm単位、デフォルトは2.5cm)です。振り子の間隔も相互作用の強さに関わって来ます。set.txtに調べたい値を上書きし、rensei.exeを実行(ダブルクリック)すれば、振動波形を計算しながら画面に描きます。画面には10秒間隔に縦線が入ります。実行後に波形がwaveform.bmpというファイルに出力されます。名前を付け替えればその波形を取っておくことができます。また実行するとLog.txtが自動的にできますが、これは削除して構いません。

 なお、プログラムはMicrosoft Visual Studio 2015 (C++) とDXライブラリで構成されています。連成振り子の運動方程式は4次のルンゲ・クッタ法で解いています。実行ファイルはWindowsパソコンで動作します。

付録2

 自分で連成振り子を試したい方のために、たこ糸とナットで試作してみました。M12ぐらいの大きめのナットを用意して下さい。ナットの代わりにつり用のおもり(20~30g)でもいいと思います。おもりにたこ糸を結んで、長さの異なる振り子を数本作ります。同じたこ糸を水平に張ります。あまりピンと張らずに少したるませておく方が"相互作用"します。この横糸に振り子を結んでいきます。写真1を参考にして下さい。

写真1

付録3

 教材としてこの連成装置を作製してみたい方に、作り方をご紹介します。大概の材料は東急ハンズで入手できると思います。工作には穴あけにボール盤、真鍮を削るのに旋盤が必要になります。工具ははんだごて、ニッパ、ラジオペンチ、金ノコ、タップドリル等が必要です。

主な材料

  • アクリル角棒(20×20×500mm),3本
  • アクリル樹脂用接着剤(またはジクロロメタン)
  • ピアノ線(φ0.5mm)、1mぐらい
  • カーボン丸棒(φ1×1m)、数本
  • ピンバイス大(ピアノ線固定用)、2個
  • ピンバイス小(おもり固定用)、複数個
  • 真鍮丸棒(φ20×10mmぐらいのおもりを複数個とれる長さ)
  • Y字型圧着端子(ニチフ1.25Y-3)、複数個
図4 アクリル枠の概略図4 アクリル枠の概略

 図4にピアノ線を張るためのアクリル製の枠を示します。500mmのアクリル角棒2本は横棒にそのまま使います。20mm角のアクリル棒といっても、縦・横の寸法は多少異なりますので、うまく向きを合わせて下さい。残りの1本から100~120mmぐらいの長さのアクリル棒を2本切り出します。ざく切りで構いません。中央にピンバイスを挿入する穴を開けます。あとでピアノ線が横棒に平行になるように同じ高さに開ける必要があります。またその穴の上側からピンバイスを固定するねじ穴を開け、タップでねじを切ります。ピアノ線固定用のピンバイスは柄の部分を20mmぐらい残してあとは切り落とします。切ったアクリル棒にピンバイスを固定した後、平らな作業台の上で、ピンバイスが上から見て横棒に平行になるように配置して、アクリル接着剤で接着します。数時間おいてアクリルがしっかり接着したら、ピアノ線を両方のピンバイスに通し、一方のピンバイスにピアノ線を固定してから、アクリル枠を鉛直に吊り下げます(ピアノ線ではなく枠を吊り下げるのです)。ピアノ線の下端にS字フックなどを介しておもりを取り付けます。このおもりの重量がピアノ線の張力になります。線径0.5mmのピアノ線で8~9kgfぐらいです。2Lペットボトルに水を入れて4本吊り下げれば8kgです。この状態で下側のピンバイスを絞めます。おもりを外し、余分なピアノ線を切り落とします。安全のため、ピアノ線の先端はホットボンドで覆うといいでしょう。ピアノ線を指で弾いて音を録音しておくと、緩んだときにすぐ分かります。しっかり止まっていれば、1~2年放っておいても緩みません。ステンレス線だと1日で伸びて音が変わります。ピンバイスは頑丈なものを選んで下さい。

 振り子の方は、1mのカーボン丸棒を半分に切って振り子の腕にします。カーボンはささくれるので、おもりを通す下端は切断部をアロンアルファでコーティングして紙やすりで磨いておくといいです。上端にはフックとしてY字型圧着端子(ニチフの1.25Y-3)を付けます。あまり強く圧着するとカーボン丸棒がつぶれて接続部が弱くなってしまいますので注意して下さい。写真2 (c)のようにY字部分をラジオペンチで曲げてピアノ線に引っ掛けるようにします。おもりは真鍮の丸棒を長さ10mmほどにカットして中心にカーボン丸棒を貫通させる穴(1mm)とピンバイス小を差し込む穴を開けます。ピンバイスとおもりは接着剤で止めれば十分です。おもりはピンバイス込みで30gぐらいが目安です。おもりの質量は単独の振り子では周期に影響しませんが、相互作用には関係しますので、なるべく揃えておく方がいいでしょう。ピンバイスを使うとカーボン丸棒の任意の位置で固定できて非常に便利です。あとは組み立てです。アクリル枠を水平に設置します。写真2(d) のようにアクリル枠を小型の脚立に設置すると、手軽に実験できます。アクリル枠の下に厚紙を挟んで水平を調節します。おもりをつけずにカーボン丸棒だけをピアノ線に吊るします。カーボン丸棒が鉛直に垂れるようにY字部分の曲げを微調整します。調整ができたらY字部分とピアノ線をそっとはんだ付けします。はんだが固まったときピアノ線が鉛直になっていることを確認して下さい。傾いていたら再度はんだを溶かします。ピアノ線は紙やすりで磨いて、アルコールで油分を取ってから、予めはんだを塗っておくと、はんだ付けしやすくなります。最後におもりをカーボン丸棒に挿入しピンバイスで固定します。

写真2
※このページに含まれる情報は、掲載時点のものになります。

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